Эффективное усреднение: не все выборки равны между собой

Бен Зарлинго (Ben Zarlingo)

Подозреваю, что многие из вас, как и я, не проявляют особого интереса к статистике как таковой. Однако мы уже знаем, сколь мощной может оказаться статистика в раскрытии свойств нашего мира, затуманенного шумами. И особенно это справедливо, когда речь заходит об электрических цепях и сигналах.
Два самых распространённых статистических инструмента – это усреднение и анализ распределения выборок.
Усреднение, вероятно, является самым распространённым статистическим инструментом нашего мира, и очень часто мы используем одну или несколько его форм одновременно, даже не подозревая об этом.
Усреднение используется очень широко, поскольку оно очень эффективно и легко реализуется. Первые анализаторы спектра имели аналоговые полосовые видеофильтры, которые обычно усредняли сигнал в логарифмическом масштабе. В те времена многие анализаторы сигналов выполняли усреднение с помощью быстрой цифровой обработки сигнала (DSP). Скорость здесь даёт реальные преимущества, поскольку шум может оказаться более шумным, чем ожидалось, и в этом случае нам придётся направить все имеющиеся ресурсы на уменьшение дисперсии.
Много лет назад я усвоил простое правило усреднение, которое оказалось очень полезным, хотя и было неверным: дисперсия измерений уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа усредняемых независимых выборок. Это правило позволяет количественно оценить усреднение, необходимое для достижения требуемой достоверности измерений.
Это полезное правило, но я запомнил его неправильно. Это стандартное отклонение уменьшается как корень квадратный из числа усредняемых независимых выборок; а дисперсия – это квадрат стандартного отклонения.
Пользуясь этим правилом, часто забывают об одном важном условии: выборки должны быть независимы, не связаны между собой такими процессами, как фильтрация или сглаживание. Например, применение узкополосного видеофильтра (VBW) ограничит эффективную частоту дискретизации для усреднения детектором ПЧ, как бы быстро не создавались выборки. Это справедливо и для фильтра полосы разрешения (RBW), где эффект усреднения VBW можно игнорировать, если он хотя бы в три раза шире, чем RBW (ещё одно простое правило).
Как же проявляется влияние коррелированных выборок в реальных измерениях спектра? Чтобы это увидеть, можно усреднить фиксированное число независимых и коррелированных выборок.

Усреднение по 50 измерениям спектра, выполненным с помощью векторного анализатора сигналов. На верхней кривой выборки независимы и некоррелированны. На нижней кривой выборки коррелированны за счёт наложения данных, что привело к уменьшению эффекта усреднения.

Для удобства создания этого примера я использовал программное обеспечение 89600 VSA и усреднил трассы с наложением записанных данных. В процессе наложения последовательные вычисления спектра включали смесь новых и ранее обработанных выборок. Это напоминает ситуацию, в которой усредняющий детектор дисплея делает выборки чаще, чем видеофильтр. Усреднение выполняется корректно, но дисперсия и стандартное отклонение не уменьшаются настолько, как можно предположить по числу усредняемых выборок.
Вы, вероятно, не часто будете сталкиваться с таким явлением, но если вы когда-нибудь обнаружите, что усреднение не даёт ожидаемого сглаживания, то позвольте себе усомниться в независимости выборок. К счастью, измерительные приложения написаны с учётом этого явления, и некоторые из них позволяют увеличить число усредняемых значений, если вам нужны более стабильные результаты.
Если описанные выше проблемы для вас актуальны, или если вы часто сталкиваетесь с шумом и шумоподобными сигналами, рекомендую ознакомиться с текущей версией классических рекомендаций по применению Измерения с помощью анализаторов сигнала и спектра и проблемы шума. Способы изложения и методы измерений, описанные в этих рекомендациях, одни из самых полезных и эффективных среди тех, что можно найти.
И, наконец, настало время для ежедневного трёхбуквенного сокращения: ННР. Оно означает нормально и независимо распределённые данные. Оно применимо к этой статье и очень хорошо известно в статистике, но явно не слишком знакомо радиоинженерам.

Калибровочные данные: как их использовать

Бен Зарлинго (Ben Zarlingo)

Насколько хорошо вы знаете то, что знаете, и нужно ли вообще это знать?

Мы выбираем, покупаем и используем контрольно-измерительное оборудование, потому что хотим получить ответы на вопросы: как много, как чисто, как быстро, как широко и т.д. Эти ответы важны для достижения успеха в разработке и производстве, но они не даются даром.
Информацию можно добавить разными способами, в том числе усредняя повторяющиеся сигналы по времени и вычитая известную мощность шума из результатов измерений. Недавно я описывал применение данных периодической калибровки отдельных приборов для того, чтобы узнать наиболее вероятную (а не заявленную) точность конкретных измерений. Если вы оплатили калибровку и информацию, собранную в ходе этого процесса, то глупо было бы ей не воспользоваться. Вот вам пример – полученная в результате калибровки амплитудно-частотная характеристика некоторого анализатора сигналов PXA:

Амплитудно-частотная характеристика некоторого анализатора сигналов PXA, измеренная во время периодической калибровки. На графике выполнено сравнение измеренной характ

еристики и измеренной погрешности со значениями, указанными в спецификациях.
В калибровочной лаборатории этот анализатор показал значительно лучшие параметры, чем заявлено в спецификациях, даже с учётом погрешности измерений. И это не удивительно, имея в виду, что спецификации должны учитывать разные климатические условия, разброс параметров от прибора к прибору, дрейф и собственную погрешность измерений.
Если вы используете именно этот прибор для подобного измерения в подобных условиях, логично предположить, что неравномерность АЧХ будет ближе к измеренному значению ±0,1 дБ, чем к значению ±0,35 дБ, заявленному в спецификациях. Как же воспользоваться этой дополнительной точностью?
Не удивительно, что ответ зависит от множества факторов, связанных с конкретной ситуацией. Я приведу здесь несколько рекомендаций и соображений, полученных от специалистов компании Keysight.
Сначала определите цель выполняемых измерений и их значимость. На этапе проектирования вас вполне может устроить оценка наилучших параметров, а не результат, отслеживаемый до эталона, если вы знаете, что конечные характеристики будут измерены потом на другом оборудовании и другими способами. В этой ситуации показанные выше минимальная и максимальная погрешности (красные пунктирные линии) говорят о том, что вы можете рассчитывать на неравномерность АЧХ около ±0,15 дБ.
С другой стороны, вы можете придерживаться требований и рекомендаций стандартов, таких как ISO17025, ANSI Z540.3 и ILAC G8. И хотя результаты калибровки вполне достоверны, полагаться на них сложнее, чем на гарантированные значения параметров. Результаты калибровки применимы лишь к конкретному прибору в конкретных условиях измерения, поэтому прибор нельзя взять и заменить на эквивалентный. Кроме того, вы должны точно учитывать условия измерения, а не полагаться на оценки стабильности и другие факторы, учтённые в запасах параметров, которые приведены в спецификациях.
Эти факторы не исключают применения результатов калибровки в расчёте полной погрешности измерения. В некоторых случаях это может оказаться самым практичным способом достижения минимальной погрешности, однако их применение может усложнить поверку и обслуживание контрольно-измерительной системы. Желательно чётко определить предположения, на которые опирается ваш метод, и предусмотреть процесс их проверки во избежание непредвиденных проблем.
Впрочем, погрешность измерения – не единственный элемент плана испытаний, и результаты калибровки могут помочь вам и иными способами. Взгляните на измеренный и заявленный средний уровень собственных шумов (DANL), показанные на следующем графике.

Реальный и заявленный средний уровень собственных шумов анализатора сигналов PXA показан в диапазоне от 3,6 до 50 ГГц. В случае, когда важную роль играет скорость измерения, реальное значение среднего уровня собственных шумов может оказаться удобнее для оптимизации настроек (например, полосы разрешения), чем заявленное в спецификациях.

В этом примере реальный средний уровень собственных шумов на 5-10 дБ меньше заявленного, и для инженера это очень важно. Измеряя низкоуровневые сигналы или шумы нужно выбирать полосу разрешения, достаточно узкую для снижения шумов, добавляемых анализатором сигналов. Но узкая полоса разрешения может замедлить измерение, поэтому очень полезно знать реальный уровень шумов, чтобы выбрать полосу разрешения как можно шире для уменьшения времени измерения.
Если ваши измерения и планы испытаний особенно требовательны, то имеет смысл использовать всю имеющуюся информацию. Guardbanding является одной из услуг калибровки компании Keysight, которая включает самый полный набор результатов калибровки, таких как описаны выше. Для упрощения доступа к результатам калибровки без запроса бумажных документов можно использовать бесплатную службу Infoline, которая предоставляет результаты всех калибровок в режиме онлайн.